人教版高中数学教材2019年A版必修2中球体表面积和体积的公式在教材第117页和118页给出如下:
教材编写者可能想在给出球体表面积公式的基础上，简单地向学生渗透求体积的思想过程(可以看作是积分思想的启发)。不过我觉得这个有些简略，可以对比一下1997年人教版对这部分的处理:
大家可以看到，所有的图都是一样的，但是1997版的逻辑清晰多了，并且给出了具体的操作流程。我认为这在传递积分概念上更有效。
其实在微积分出现之前的时代，很多计算面积和体积的公式都来自 穷举法 (用尽方法).前面的计算过程可以看作是穷举法的使用。这种方法起源于古希腊，最著名的是阿基米德的使用。穷举法可以看作是积分思想的萌芽，下图就是用这种方法求圆的面积的思想:
用尽方法的关键是依靠 双重悖论 (Reductio ad Absurdum)，下面这个完整的展示了用穷举法计算抛物线面积的过程:
0 条